Equação de transporte de Boltzmann no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

Desenvolvida originalmente por Ludwig Boltzmann, esta equação é uma ferramenta poderosa para a análise dos fenômenos de transporte envolvendo gradientes de temperaturae densidade. Essa equação é muito importante na física estatística e amplamente aplicada no estudo de sistemas fora do equilíbrio termodinâmico. Geralmente, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo do transporte de calor e carga, fornecendo informações sobre propriedades de transporte como condutividade elétrica e térmica, viscosidade, etc. Para um sistema com função distribuição de partículas

f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}

sujeita a uma força externa

{\vec {F}},

a equação de Boltzmann é dada por

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde o termo da direita descreve o efeito das colisões entre as partículas do sistema.

Dedução matemática[editar | editar código-fonte]

Considere uma função de distribuição

f({\vec {x}},{\vec {p}},t),

de maneira que

f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

represente o número de partículas que, no instante

t,

se encontra na posição

{\vec {x}}

em um elemento de volume

\mathrm {d} {\vec {x}}

com momento

\mathrm {d} {\vec {p}}

em torno de

{\vec {p}}.

Na ausência de colisões entre as partículas desse sistema, temos

f({\vec {x}}+{\vec {v}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}=f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}

onde

{\vec {F}},

é um campo de força externo atuando nas partículas. Entretanto, se considerarmos as colisões entre partículas a densidade

f

muda, e obtemos

f({\vec {x}}+{\frac {\vec {p}}{m}}\delta t,{\vec {p}}+{\vec {F}}\delta t,t+\delta t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}-f({\vec {x}},{\vec {p}},t)\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}\mathrm {d} {\vec {x}}\mathrm {d} {\vec {p}}\mathrm {d} t.

Onde agora, o termo da direita descreve as colisões entre partículas. Expandindo o lado esquerdo em primeira ordem em

\delta t,

chegamos a seguinte expressão para a equação de Boltzmann

{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\vec {p}}{m}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}+{\vec {F}}{\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{col}.

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Desde de sua descoberta, a equação de transporte de Boltzmann é utilizada no estudo de vários sistemas físicos, entretanto, soluções para essa equação só foram encontradas em 2010. Philip T. Gressman e Robert M. Strain encontraram uma solução global clássica para a equação de Boltzmann com interações de longo alcance.^[1]

A equação de Boltzmann pode ser utilizada para calcular as propriedades de transporte eletrônico em metais e semicondutores. Por exemplo, se um campo elétrico é aplicado a um sólido, devemos resolver a equação de Boltzmann para a função de distribuição dos elétrons. Se o campo elétrico é constante, a função de distribuição também é constante e está associada a um fluxo de corrente na direção do campo. A partir da equação de Boltzmann também é possível calcular o fluxo de calor em um sólido que surge devido a uma diferença de temperatura, e a condutividade térmica. As equações resultantes descrevem os fenômenos termoelétricos, tais como o efeito Seebeck e o efeito Peltier. Finalmente, se temos um campo magnético constante, podemos ver que a condutividade elétrica geralmente diminui com o aumento do campo magnético, um comportamento conhecido como magnetorresistência. A equação do transporte de Boltzmann também pode ser utilizada para descrever o efeito Hall, e fenômenos mais complexos como termomagnético, o efeito Ettingshausen e o efeito Nernst.

Propriedades de não equilíbrio de gases atômicos ou moleculares, como viscosidade, condução térmica e difusão têm sido tratados com a equação de Boltzmann. Embora muitos resultados úteis, como a independência da viscosidade na pressão, podem ser obtidos por métodos aproximados.

Outra aplicação da equação de Boltzmann é no estudo de plasmas. Muitas das propriedades dos plasmas podem ser calculadas estudando o movimento das partículas individuais em campos elétricos e magnéticos, ou considerando equações hidrodinâmicas ou a equação Vlasov, juntamente com as equações de Maxwell. No entanto, propriedades sutis de plasmas, como processos de difusão e de amortecimento de ondas, podem ser melhor compreendidas, partindo da equação de Boltzmann.

A mecânica estatística fornece um quadro que relaciona as propriedades microscópicas de átomos e moléculas com as propriedades macroscópicas ou extensivas de materiais que podem ser observados na vida cotidiana. Portanto, ela explica a termodinâmica como um resultado natural da estatística, mecânica clássica e mecânica quântica ao nível microscópico. Por causa desta história, a física estatística é muitas vezes considerada como sinônimo de mecânica estatística ou termodinâmica estatística.

Uma das equações mais importantes da mecânica estatística (análogo à F = ma em mecânica, ou a equação de Schrödinger na mecânica quântica) é a definição da função de partição Z, que é essencialmente uma soma ponderada de todos os possíveis estados q disponíveis para um sistema .

Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}

x

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

onde

k_{B}

é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e E(q) é a energia do estado q. Além disso, a probabilidade de um determinado estado q ocorrer é dada por

P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

Aqui, vemos que os estados de energia muito alta têm pouca probabilidade de ocorrência, um resultado que é consistente com a intuição.

A abordagem estatística pode funcionar bem em sistemas clássicos quando o número de graus de liberdade (e assim o número de variáveis) é tão grande que a solução exata não é possível, ou não é realmente útil. A mecânica estatística também pode descrever o trabalho na dinâmica não-linear, teoria do caos, física térmica, dinâmica dos fluidos(particularmente nos números de Knudsen elevados) e física de plasmas.

Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente por meio de aproximações e expansões, as pesquisas mais atuais utilizam o poder de processamento de computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para produzir uma ideia da dinâmica de um sistema complexo.

Um princípio relacionado, a lei de Newton do resfriamento, estabelece que a taxa de perda de calor de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e seus arredores.

A lei é dada pela equação diferencial:

{\frac {dQ}{dt}}=h\cdot A(T_{\text{env}}-T(t))=-h\cdot A\Delta T(t)\quad

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

Q=

Energia térmica em joules

h=

Coeficiente de transferência térmica

A=

Área de superfície do calor sendo transferido

T=

Temperatura da superfície do objeto e interior (uma vez que estes são os mesmos nesta aproximação)

T_{\text{env}}=

Temperatura do ambiente

\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}

é o gradiente térmico dependente do tempo entre o ambiente e o objeto

O coeficiente de transferência térmica ou coeficiente de transferência de calor, em termodinâmica e em engenharia mecânica e química, é usado no cálculo da transferência de calor, tipicamente por convecção ou mudança de fase entre um fluido e um sólido:

h={\frac {\Delta Q}{A\cdot \Delta T\cdot \Delta t}}

x

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

onde

ΔQ = entrada de calor ou perda de calor, J

h = coeficiente de transferência térmica, W/(m²K)

A = área de superfície de transferência térmica, m²

\Delta T

= diferença na temperatura entre a área da superfície do sólido e a do fluido circundante, K

\Delta t

= período de tempo, s

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M...... X =$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

segunda-feira, 5 de agosto de 2019

Dedução matemática[editar | editar código-fonte]